Normale

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Definizione

La variabile casuale Normale (detta pure variabile casuale Gaussiana o curva di Gauss o curva degli errori) è una variabile casuale continua con due parametri, indicata tradizionalmente con:

$X \sim \operatorname{N}(\mu,\sigma^2)$

Si tratta di una delle più importanti distribuzioni in quanto è, o la base di partenza per le altre distribuzioni o la distribuzione alla quale altre possono essere approssimate in certe situazioni limite (vedasi la Binomiale e la Poisson e il Teorema del limite centrale).

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Esempi

Normale a media 100 con Dev.St variabile

Normale con Dev.St=10 e Media variabile

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Metodologia

La Gaussiana è la seguente funzione di densità di probabilità:

$f(x) = \frac{ e^ {- \frac{\left( x - \mu \right)^2}{2 \sigma ^2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \quad con \quad - \infty < x < \infty$

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri che quindi caratterizzano perfettamente l'intera distribuzione) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile indicare in modo esplicito l'integrale della f(x), è necessario rendere in forma tabellare i valori della funzione di ripartizione. I più usati sono:

68,3% = P{ μ - σ < X < μ + σ }

95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X < μ + 1,96 σ }

95,5% = P{ μ - 2 σ < X < μ + 2 σ }

99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X < μ + 2,58 σ }

99,7% = P{ μ - 3 σ < X < μ + 3 σ }

Essendo f(x) una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla v.c.Normale si possono ottenere altre v.c. come la t di Student, la Chi quadrato e la F di Snedecor.

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Teoremi

Se: X₁, X₂, ..., X_n sono n v.c. Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con media μ_i e varianza σ²_i,
allora: la v.c. Y = α₁X₁ + α₂X₂ + ... + α_nX_n è a sua volta una v.c. Normale con valore atteso μ = α₁μ₁ + α₂μ₂ + ... + α_nμ_n e varianza σ² = α²₁σ²₁ + α²₂σ²₂ + ... + α²_nσ²_n

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Storia

Karl Friedrich Gauss descrisse la Normale studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi curva di Gauss e curva degli errori:

Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una Gaussiana, ma non andò oltre.

Fu Galton a intuire che la curva in questione poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa di idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine Normale, in quanto rappresentava uno substrato normale ovvero la norma per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, in mancanza di strumenti adeguati, Galton si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

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