Binomiale

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Binomiale con n=5 al variare di p

La variabile casuale Binomiale è una variabile casuale che assume valori discreti e positivi.

Una variabile casuale discreta X che assume i valori 0,1,2,... con probabilità pari a:

$P(X=t) = {n \choose t} p^t(1-p)^{n-t} \quad per \quad t=0,1,2,...$

per qualche $0<p<1$ e $n=0,1,2,...$ è detta di Binomiale di indice n e $p$ , e si scrive:

$X \sim \operatorname{Bi}(n,p)$

Il coefficiente ${n \choose t}$ è detto coefficiente binomiale ed il suo valore è pari a:

${n \choose t} = \frac{n!}{t! \cdot \left( n - t \right)!}$

La formula citata dà la probabilità di ottenere t successi in n replicazioni indipendenti di un esperimento casuale in cui la probabilità di un successo sia pari a p (e quindi la probabilità di un insuccesso sia pari a q).

Il valore atteso e la varianza sono pari a:

$E(Y)=np$

$V(Y)=np(1-p)$

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Osservazione

La somma di due variabili casuali indipendenti binomiali $Bi(n_1,p)$ e $Bi(n_2,p)$ è ancora un binomiale $Bi(n_1+n_2,p)$ .

E' chiaro che, al pari della Poisson in una distribuzione binomiale media e varianza non sono parametri indipendenti tra loro (come invece accade per la Normale.